تخمین پارامترهای احتمال
تخمین پارامترهای احتمال:
1: روش احتمال شرطی
اجازه دهید(X1,Y1) , ... Xn,Yn) ,) نشان دهنده نمونه های تصادفی از جامعه n باشند این نمونه ها برای تخمین Рr(C|A) استفاده می شوند . احتمال شرطی رخداد C به شرط رخدادA به وسیله فرمول اماری زیر محاسبه می شود :
(1. 4)
كه وظایف مشخصه های XA ,Xc نشان داده می شوند به وسیله :
(2. 4)
(3. 4)
حالافرض كنید به جای پدیده های معمولی Aو C پدیده های فازی جایگزین شوند .
این به این معناست كه به وسیله mfs پدیده های A,C به µA وμC تعریف شوندو
به جای XΑ،Xc در معادله 4.1 جایگزین شوند . در نتیجه خواهیم داشت :
(4.4)
این فرمول پایه تعریف احتمال رخداد در پدیده فازی می باشد ( درس 37 ) .
مشتق اول فرمول 4.4 درسهای 35و36 را پدید می آورد .
نتیجه فرمول 4.4 در تخمین پارامترهای شرطی درPFS استفاده می شود . این دیدگاه دردرسهای 16و18و34 دنبال می شود كه به روشهای احتمال شرطی در این تز اشاره
می كند .
فرض كنید مجموعه اطلاعاتی شاملn نمونه به صورت ( (i=1,2, ...,n) ( Xi,Yi
برای تخمین پارامترهای احتمال در دسترس باشد همچنین فرض كنید كه هم مقدمه وهم نتیجه mfs درسیستم تعیین شده است ونیاز به بهینه سازی بیشتر نمی باشد یعنی فقط پارامترهای احتمال درتخمین باقی بمانند . به نظر منطقی می آید كه پارامترهای Pj,k واقعی رابرای تخمین احتمال شرطی پدیده فازی Ck به شرط رخداد پدیده فازی Aj قرار دهیم . اگرچه ورودی X به تعریف بیشتر احتیاج ندارد اما برای نشان دادن غیر عادی بودن محاسبات mfµAj وmfµ¯Aj باید ازفرمول زیراستفاده شود :
(4.5)
بنابراین Pj,k واقعی است و برای تخمین احتمال شرطی پدیده فازی Ck ونشان دادن غیر عادی بودن پدیده فازی Aj باید ازآن استفاده شود .
توجه داشته باشید كه PFSs برای نمونه های برگشتی یك قانون پایه دارد كه فقط با همان قانون كه در پارامترهای شرطی Pj,k استفاده می شود ودرفرمول 4.5 نشان داده شده هیستوگرامهای فازی مورد بحث دردرس 2 را معادل سازی می كند .
درPFS برای نمونه های طبقه بندی درهرطبقه Ck به صورت یك خروجی جدید نشان داده می شود پس فرمول 4.5 به صورت زیر هم نوشته می شود :
(4.6)
عملكرد مشخصه XCk بوسیله فرمول زیر نشان داده می شود :
(4.7)
درتعریف این قسمت ،احتمالات آماری پارامترها تخمین زده می شوند . به PFSs درنمونه های طبقه بندی در تجزیه وتحلیل فرمولهای (4.5) و(4.6) در قسمت (4.1.1) توجه می شود . همچنین در قسمت (4.1.2) درنمونه های برگشتی PFSs بررسی می شود .
4.1.1- نمونه های طبقه بندی درمسائل آماری :
دراین قسمت ثابت می شود كه مسئله های احتمال كه به وسیله فرمول (4.6) تخمین زده شده باشند غیر واقعی وناهماهنگ هستند وبا معیارهای ML سازگار نمی باشند .
همچنین كافی است یك عامل نمونه درفرمول( 4.6) قرارداده شود تا غیر واقعی وناهماهنگ بودن تخمین های بدست آمده واینكه بیشینه سازی احتمال درست نمایی مجموعه اطلاعات انجام نمی شود اثبات گردد.
ملاحظه كنید كه درPFS اگرمسئله طبقه بندی درخواست شده 2 نوع باشد باC1 وC2 نمایش داده می شود . PFS یك ورودی X=[0,1] ویك قانون پایه شامل 2 احتمال تئوری فازی دارد . در مقدمه mfs فازی A1,A2 می نشیند پس خواهیم داشت :
(4.8)
دردنباله با توجه به فرمول (3.4) كه µ¯Aj=µAj و j=1,2 مفروض است كه احتمال شرطی C1 وC2 برابر است با :
(4.9)
با استفاده ازفرمول (3.5) می توانیم احتمال های شرطی نا شناخته ای را كه برای تخمین بهPFS احتیاج ندارند ببینیم .
بااستفاده از فرمول (4.9) پارامترهای احتمال بدین صورت خواهند بود كه :
P*1,1=P*2,2=1 و P*1,2=P*2,1=0 ( توجه كنید كه در این مثال مقدمه mfs درفرمول
(4.8) به روشی انتخاب شده است كه بدست آوردن تخمین درست احتمال شرطی PFS
را مشكل می نماید لذا بدست آوردن تخمین های درست احتمال شرطی پارامترهای احتمال
Pj,k نیزمشكل خواهد بود ودر نتیجه آنالیز تخمین های پارامترهای احتمالی ، غیرواقعی وناهماهنگ می باشد .
درادامه 2قضیه كه درارتباط باپارامترهای آماری فرمول (4.6) می باشد خواهد آمد . برای اثبات قضیه ها از مثال فوق استفاده میگردد .
قضیه4.1:
برای نمونه های طبقه بندی شده در PFS بااستفاده از فرمول (4.6)اثبات كنید كه تخمین های Pj,k ازپارامترهای احتمالی P*j,k غیرواقعی وناهماهنگ هستند .
اثبات : مثالی را كه دربالا نشان داده شده ملاحظه نمایید . فرض كنید یك مجموعه اطلاعاتی شامل n نمونه طبقه بندی شده (i=1, ... , n) ( Xi,yi) برای تخمین پارامترهای احتمال درPFS دردسترس است . برای سادگی فرض كنید كه X1, ... ,Xn ارزشهای ثابتی دارند یعنی فقط Y1, ... ,Yn نمونه هایی بارفتارهای متغیر هستند . برای مثال تخمین
P2,2 ازپارامتراحتمالی P*2,2 را ملاحظه كنید . ازفرمولهای (4.6) ،(4.7) ،(4.8) ،(4.9)
چنین بدست می آید كه :
(10،4)
حالا فرض كنید كه XiЄ(0,1) و,n) (i=1,... سپس از فرمول (4.10) بدست آورید كه
Ep2,2Є(0,1) تازمانیكه P*2,2=1 تخمین غیرواقعی ازP2,2 باشد . این بحث اعداد مستقلی از نمونه های طبقه بندی شده n راشامل میگردد. همچنین ازn→∞ تشكیل شده است .از دو مورد فوق نتیجه می شود كه تخمین P2,2 غیر واقعی و ناهماهنگ است .
معادله (4.6) تخمین های پایه رافقط وفقط برای اعدادمثبت Є .
جهت دریافت فایل تخمین پارامترهای احتمال لطفا آن را خریداری نمایید