نیروهای اینرسی در اكثر مسائل مكانیك سیالات مهم هستند نسبت نیروی اینرسی به هر یك از نیروهای دیگر فهرست شده در بالا، پنج گروه بی‌بعد اصلی در مكانیك سیالات را تشكیل می دهد در دهه 1880، اسبرن رینولدز، مهندس انگلیسی، گذار بین جریان لایه ای، و جریان متلاطم را در یك لوله مطالعه كرد او كشف كرد كه پارامتر زیر (كه بعداً به نام او خوانده شد)

تكنیك‌های مدل‌سازی

= نیروی چسبندگی

= نیروی فشاری

= نیروی گرانش

= نیروی كشش سطحی

= نیروی تراكم پذیری

نیروهای اینرسی در اكثر مسائل مكانیك سیالات مهم هستند. نسبت نیروی اینرسی به هر یك از نیروهای دیگر فهرست شده در بالا، پنج گروه بی‌بعد اصلی در مكانیك سیالات را تشكیل می دهد.

در دهه 1880، اسبرن رینولدز، مهندس انگلیسی، گذار بین جریان لایه ای، و جریان متلاطم را در یك لوله مطالعه كرد. او كشف كرد كه پارامتر زیر (كه بعداً به نام او خوانده شد)

 

معیاری است كه با آن می توان نوع جریان را به دست آورد. بعدها، آزمایش ها نشان دادند كه عدد رینولدز پارامتری كلیدی برای دیگر حالت های جریان نیز می‌باشد. از این‌رو، به طور كلی، داریم:

 

كه در آن L طول مشخصه توصیفی هندسه میدان جریان است. عدد رینولدز عبارت است از نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای چسبندگی. جریان با عدد رینولدز “بزرگ” معمولاً متلاطم است. جریانی كه در آن نیروهای اینرسی در مقایسه با نیروهای چسبندگی “كوچك” هستند به طور مشخصه جریان لایه ای است.

در آیرودینامیك و آزمون های مدل، بهتر است داده های فشار را به شكل بی‌بعد نشان داد. نسبت زیر:

 

تشكیل داده می شود، كه در آن  فشار محلی منهای فشار جریان آزاد است،  و V خواص جریان آزاد هستند. این نسبت به نام لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی كه اكثر كارهای تحلیلی اولیه را در مكانیك سیالات انجام داد، خوانده می شود. اویلر اولین كسی است كه نقش فشار را در حالت سیال تشخیص داد؛ عدد اویلر عبارت است از نسبت نیروهای فشاری به نیروهای اینرسی. (ضریب  در مخرج وارد می‌شود تا فشار دینامیكی را بدهد). عدد اویلر را اغلب ضریب فشار، C_p، می نامند.

در مطالعه پدیده حفره‌زایی، اختلاف فشار  به صورت  گرفته می‌شود، كه در آن  شرایط جریان مایع هستند. و  فشار بخار در دمای آزمایش است. پارامترهای بعد زیر را عدد حفره زایی می نامند،

 

ویلیام فرود یك آرشیتكت دریایی انگلیسی بود. همراه با پسرش، رابرت ادموند فرود، كشف كرد كه پارامتر زیر

 

برای جریان ها با تاثیرات سطح آزاد مهم است. با مجذور كردن عدد فرود داریم:

 

كه می توان آن را به عنوان نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای گرانشی تفسیر كرد. طول، L، طول مشخصه توصیفی میدان جریان است. در حالت جریان در كانال باز، طول مشخصه عمق آب است؛ اعداد فرود كم تر از واحد نشان می دهد كه جریان زیر بحرانی است و مقادیر بزرگ تر از واحد نشان می دهد كه جریان فوق بحرانی است.

عدد و بر عبارت است از نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای كشش سطحی. آن را می توان چنین نوشت:

 

در دهه 1870، فیزیكدان استرالیایی ارنست ماخ پارامتر زیر را دكرد:

 

كه در آن V سرعت جریان و c سرعت صوت محلی است. تحلیل و آزمایش نشان می‌دهد كه عدد ماخ پارامتری كلیدی است، تاثیرات تراكم ناپذیری را در یك جریان مشخص می كند. عدد ماخ را می توان چنین نوشت:

     یا   

آن را به عنوان نسبت نیروهای اینرسی به نیروهای ناشی از تراكم پذیری می توان تفسیر كرد. برای جریان كاملاً تراكم ناپذیر (در عرضی شرایط حتی مایعات كاملاً تراكم ناپذیر هستند)، . بنابراین M=0.

5- تشابه جریان و مطالعه های مدل

برای اینكه آزمون مدل مفید باشد باید داده هایی را بدهد كه بتوان آنها را مقیاس بندی كرد و نیروها، و گشتاورها و بارهای دینامیكی موثر بر نمونه اصلی با اندازه كامل را به دست آورد. چه شرایطی باید برقرار باشد تا بین جریان مدل و جریان نمونه اصلی تشابه وجود داشته باشد؟

شاید بدیهی ترین شرط این است كه مدل و نمونه اصلی باید به دور هندسی متشابه باشند. تشابه هندسی ایجاب می كند كه مدل و نمونه اصلی دارای شكل یكسان باشند، و تمام ابعاد خطی مدل با تقریب مقیاس ثابتی به ابعاد متناظر نمونه اصلی ارتباط داده شوند.

شرط دوم این است كه جریان مدل و جریان نمونه اصلی باید به طور سینماتیكی متشابه باشند. دو جریان وقتی به طور سینماتیكی متشابه هستند كه سرعت ها در نقاط متناظر هم جهت باشند و مقدار آنها با یك ضریب مقیاس ثابت به هم ارتباط داده شوند. از این رو دو جریان كه به طور سینماتیكی متشابه هستند دارای نقش های خط جریانی نیز هستند كه با ضریب مقیاس ثابت به هم مربوط می شوند. از آنجا كه مرزها خطوط جریان احاطه كننده تشكیل می دهند، جریان هایی كه به طور سینماتیكی متشابه هستند باید به طور هندسی متشابه باشند.

اصولاً، تشابه سینماتیكی ایجاب می كند كه برای به دست آوردن داده های بازدارندگی موثر بر یك جسم، از تونل باد با مقطع عرضی نامحدود استفاده شود تا عملكرد در یك میدان جریان محدود به درستی مدل بندی شود. در عمل، این محدودیت را به طور قابل توجه می توان تعدیل كرد، و از وسیله ای با اندازه منطقی استفاده كرد.

تشابه سینماتیكی ایجاب می كند كه نوع جریان مدل و نوع جریان نمونه اصلی با هم یكسان باشند. اگر آثار تراكم ناپذیری یا حفره زایی، كه نقش های جریان را به طور كیفی می توانند تغییر دهند، در جریان نمونه اصلی وجود نداشته باشند، در جریان مدل از وجود آنها باید جلوگیری كرد.

وقتی توزیع نیروها در دو جریان به صورتی باشد كه در تمام نقاط متناظر، انواع نیروهای همسان با هم موازی باشند و مقدار آنها با ضریب مقیاس ثابت به هم مربوط شود، جریان ها به طور دینامیكی متشابه هستند.

شرایط تشابه دینامیكی بسیار محدود است: دو جریان باید هر دو تشابه هندسی و سینماتیكی را داشته باشند تا به طور دینامیكی متشابه باشند.

برای در نظر گرفتن شرایط لازم برای تشابه دینامیكی كامل، تمام نیروهایی كه در جریان مهم هستند باید در نظر گرفته شوند. از این رو، تاثیرات نیروهای چسبندگی، نیروهای فشاری، نیروهای كشش سطحی و غیره، باید در نظر گرفته شود. شرایط آزمون باید طوری در نظر گرفته شود كه تمام نیروهای مهم میان جریان های مدل و نمونه اصلی با ضریب مقیاس یكسان به هم ارتباط داده شود. وقتی تشابه دینامیكی وجود دارد، داده های اندازه گیری شده در یك جریان مدل را می توان به طور كمی به شرایط جریان نمونه اصلی ارتباط داد. در این صورت، شرایطی كه تشابه دینامیكی بین جریان های مدل اصلی را برقرار می كنند چه هستند؟

برای یافتن گروه های بی‌بعد حاكم در یك پدیده جریان، از نظریه پی بوكینگهام می‌توان استفاده كرد؛ برای یافتن تشابه دینامیكی بین جریان های به طور هندسی متشابه، باید تمام این گروه های بی‌بعد به غیر از یكی را همانند قرار داد.

مثلاً در بررسی نیروی بازدارندگی موثر بر یك كره در مثال 1، با رابطه زیر شروع می كنیم:

 

نظریه پی بوكینگهام رابطه تابعی زیر را می دهد

 

در قسمت 4 نشان دادیم كه پارامترهای بی‌بعد را به صورت نسبت نیروها می توان تفسیر كرد. از این رو، در بررسی جریان مدل و جریان نمونه اصلی پیرامون یك كره (جریان ها به طور هندسی متشابه هستند)، جریان ها به طور دینامیكی متشابه هستند اگر

 

به علاوه، اگر

 

در این صورت

 

و نتایج حاصل از مطالعه مدل را برای پیش بینی بازدارنگی موثر بر نمونه اصلی با اندازه كامل می توان به كار برد.

نیروی واقعی كه سیال بر جسم وارد می كند در هر حالت یكسان نیست، اما مقدار بی‌بعد آن یكسان است. در صورت لزوم، می توان دو آزمایش را با استفاده از سیالات متفاوت انجام داد تا اعداد رینولدز با هم برابر شوند. مطابق مثال 4، برای سهولت آزمایش می توان داده های آزمون را در یك تونل باد در هوا اندازه گیری كرد و از نتایج برای پیش بینی نیروی بازدارندگی در آب استفاده كرد.

مثال 4 تشابه: نیروی بازدارندگی مبدل یك وسیله كاشف زیر دریایی.

بازدارندگی مبدل یك وسیله كاشف زیر دریایی قرار است از روی داده های آزمون در تونل باد تعیین شود. نمونه اصلی، كره ای به قطر mm300، باید با سرعت 5نات (مایل دریایی در ساعت، و یك مایل معادل 1852 متر است) در آب دریای  حركت كند. مدل به قطر mm150 است. سرعت لازم را برای آزمایش در هوا بیابید. اگر بازدارندگی مدل در شرایط آزمایش 24.8N باشد، بازدارندگی موثر بر نمونه اصلی را تخمین بزنید.

تحلیل مثال 4

داده: مبدل یك وسیله كاشف زیر دریایی قرار است در تونل باد آزمایش شود.

خواسته: (الف)           (ب)

 

 

حل:

از آنجا كه نمونه اصلی در آب عمل می كند و آزمایش مدل قرار است در هوا انجام شود، فقط اگر تاثیرات حفره زایی در جریان نمونه اصلی و تاثیرات تراكم ناپذیری در آزمایش مدل وجود نداشته باشد، نتایج مفیدی به دست می آید. در این شرایط

 

و آزمایش را باید در

 

انجام داد تا تشابه دینامیكی برقرار شود. برای آب دریا در ،  و . در شرایط نمونه اصلی،

 

 

شرایط آزمایش مدل باید طوری باشد كه این عدد رینولدز را برقرار كند. از این رو

 

برای هوا در شرایط استاندارد،  و  تونل باد باید در شرایط زیر عمل كند:

 

 

 

 

این سرعت آنقدر كم است كه بتوان از تاثیرات تراكم ناپذیری صرف نظر كرد. در این شرایط آزمایش، جریان مدل و جریان نمونه اصلی به طور دینامیكی متشابه هستند. از این رو،

 

 

 

 

اگر انتظار حفره زایی برود- اگر مبدل خورشیدی در سرعت زیاد نزدیك سطح آزاد آب دریا عمل می كرد- در این صورت از روی آزمایش مدل در هوا نمی توانستیم نتایج مفیدی به دست آوریم.

این‌مساله محاسبه مقادیر نمونه اصلی را از روی داده های آزمایش نشان می‌دهد.

5-1- تشابه غیر كامل

نشان داده ایم كه برای یافتن تشابه كامل دینامیكی بین جریان های به طور هندسی متشابه باید تمام گروه های بی‌بعد مهم به جز یكی همانند باشند.